On the spectrum of 𝐶₀-semigroups 论文
摘要
In this paper we give characterizations of the spectrum of a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C 0"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{C_0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -semigroup <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="e Superscript upper A t"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{e^{At}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in terms of certain solution properties of the differential equation <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis asterisk right-parenthesis u Superscript prime Baseline equals upper A u plus f"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo> ∗ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(\ast )\;u’ = Au + f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and, in case <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a Hilbert space, also in terms of properties of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis lamda minus upper A right-parenthesis Superscript negative 1"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{(\lambda - A)^{ - 1}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We give several applications of these results including a study of the existence of dichotomic projections for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis asterisk right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo> ∗ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(\ast )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .