Strong convergence of approximated sequences for nonexpansive mappings in Banach spaces 论文

摘要

In this paper, we study the convergence of the sequence defined by <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x 0 element-of upper C comma x Subscript n plus 1 Baseline equals alpha Subscript n Baseline x plus left-parenthesis 1 minus alpha Subscript n Baseline right-parenthesis upper T x Subscript n Baseline comma n equals 0 comma 1 comma 2 comma ellipsis comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x_0\in C , \;\; x_{n+1} = \alpha _{n}x + (1-\alpha _{n})Tx_n , \;\; n=0,1,2, \ldots ,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 less-than-or-equal-to alpha Subscript n Baseline less-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0 \leq \alpha _n \leq 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a nonexpansive mapping from a closed convex subset of a Banach space into itself.