How far do chemotaxis-driven forces influence regularity in the Navier-Stokes system? 论文

摘要

The chemotaxis-Navier-Stokes system <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis star right-parenthesis StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column n Subscript t Baseline plus u dot nabla n 2nd Column a m p semicolon equals normal upper Delta n minus nabla dot left-parenthesis n chi left-parenthesis c right-parenthesis nabla c right-parenthesis comma 2nd Row 1st Column c Subscript t Baseline plus u dot nabla c 2nd Column a m p semicolon equals normal upper Delta c minus n f left-parenthesis c right-parenthesis comma 3rd Row 1st Column u Subscript t Baseline plus left-parenthesis u dot nabla right-parenthesis u 2nd Column a m p semicolon equals normal upper Delta u plus nabla upper P plus n nabla normal upper Phi comma 4th Row 1st Column nabla dot u 2nd Column a m p semicolon equals 0 EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo> ⋆ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="2em"/> <mml:mspace width="2em"/> <mml:mspace width="2em"/> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="left left" rowspacing="0.483em 0.483em 0.483em 0.2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo> ⋅ </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∇ </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∇ </mml:mi> <mml:mo> ⋅ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi> χ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∇ </mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo> ⋅ </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∇ </mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo> ⋅ </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∇ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∇ </mml:mi> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> ∇ </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> Φ </mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi mathvariant="normal"> ∇ </mml:mi> <mml:mo> ⋅