Nonlinear equations for fractional Laplacians II: Existence, uniqueness, and qualitative properties of solutions 论文
摘要
This paper, which is the follow-up to part I, concerns the equation <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis negative normal upper Delta right-parenthesis Superscript s Baseline v plus upper G prime left-parenthesis v right-parenthesis equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(-\Delta )^{s} v+G’(v)=0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R Superscript n"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}^{n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s element-of left-parenthesis 0 comma 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s\in (0,1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis negative normal upper Delta right-parenthesis Superscript s"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(-\Delta )^{s}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> stands for the fractional Laplacian—the infinitesimal generator of a Lévy process. When <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n=1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , we prove that there exists a layer solution of the equation (i.e., an increasing solution with limits <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="plus-or-minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo> ± </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\pm 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> at <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="plus-or-minus normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo> ± </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\pm \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ) if and only if the potential <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has only two absolute minima in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket negative 1 comma 1 right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">[-1,1]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , located at <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="plus-or-minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo> ± </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\pm 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and satisfying <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G prime left-parenthesis negative 1 right-parenthesis equals upper G prime left-parenthe