Multiplicity of solutions for elliptic problems with critical exponent or with a nonsymmetric term 论文
摘要
We study the existence of solutions for the following nonlinear degenerate elliptic problems in a bounded domain <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega subset-of bold upper R Superscript upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:mo> ⊂ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega \subset {{\mathbf {R}}^N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="minus d i v left-parenthesis StartAbsoluteValue nabla u EndAbsoluteValue Superscript p minus 2 Baseline nabla u right-parenthesis equals StartAbsoluteValue u EndAbsoluteValue Superscript p Super Superscript asterisk Superscript minus 2 Baseline u plus lamda StartAbsoluteValue u EndAbsoluteValue Superscript q minus 2 Baseline u comma lamda greater-than 0 comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>div</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ∇ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ∇ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="2em"/> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">- \operatorname {div} (|\nabla u{|^{p - 2}}\nabla u) = |u{|^{{p^{\ast }} - 2}}u + \lambda |u{|^{q - 2}}u,\qquad \lambda > 0,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Superscript asterisk"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{p^{\ast }}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the critical Sobolev exponent, and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u vertical-bar Subscript delta normal upper Omega Baseline identical-to 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> δ </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ≡ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u{|_{\delta \Omega }} \equiv 0</mml:annotation>