On the interpretation of Whitney numbers through arrangements of hyperplanes, zonotopes, non-Radon partitions, and orientations of graphs 论文

摘要

The doubly indexed Whitney numbers of a finite, ranked partially ordered set <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L"> <mml:semantics> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are (the first kind) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="w Subscript i j Baseline equals sigma-summation left-brace mu left-parenthesis x Superscript i Baseline comma x Superscript j Baseline right-parenthesis colon x Superscript i Baseline comma x Superscript j Baseline element-of upper L"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{w_{ij}} = \sum {\{ \mu ({x^i},{x^j}):{x^i},{x^j} \in L}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with ranks <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="i comma j right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">i,j\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and (the second kind) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper W Subscript i j Baseline equals"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{W_{ij}} =</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the number of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis x Superscript i Baseline comma x Superscript j Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">({x^i},{x^j})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x Superscript i Baseline less-than-or-slanted-equals x Superscript j"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> ⩽ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{x^i} \leqslant {x^j}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . When <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L"> <mml:semantics> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0"> <mml:semantics> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> element, the ordinary (simply indexed) Whitney numbers are <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="w Subscript j Baseline equals w Subscript 0 j"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi>