Uniqueness of travelling waves for nonlocal monostable equations 论文

摘要

We consider a nonlocal analogue of the Fisher-KPP equation <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u Subscript t Baseline equals upper J asterisk u minus u plus f left-parenthesis u right-parenthesis comma x element-of upper R comma f left-parenthesis 0 right-parenthesis equals f left-parenthesis 1 right-parenthesis equals 0 comma f greater-than 0 on left-parenthesis 0 comma 1 right-parenthesis comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>on</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u_t =J*u-u+f(u),~x\in R,~f(0)=f(1)=0,~f&gt;0 ~\textrm {on}~(0,1),</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> and its discrete counterpart <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="ModifyingAbove u With dot Subscript n Baseline equals left-parenthesis upper J asterisk u right-parenthesis Subscript n Baseline minus u Subscript n Baseline plus f left-parenthesis u Subscript n Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo> ˙ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\dot u}_n =(J*u)_n -u_n +f(u_n )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n element-of upper Z"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n\in Z</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and show that travelling wave solutions of these equations that are bounded between <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0"> <mml:semantics> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1"> <mml:semantics> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are unique up to translation. Our proof requires finding exact a priori asymptotics of a travelling wave. This we accomplish with the help of Ikehara’s Theorem (which is a Tauberian theorem for Laplace transforms).