𝑊^{2,𝑝}-solvability of the Dirichlet problem for nondivergence elliptic equations with VMO coefficients 论文
摘要
We prove a well-posedness result in the class <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper W Superscript 2 comma p Baseline intersection upper W 0 Superscript 1 comma p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> ∩ </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{W^{2,p}} \cap W_0^{1,p}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for the Dirichlet problem <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column upper L u equals f 2nd Column a m p semicolon a period e period in normal upper Omega comma 2nd Row 1st Column u equals 0 2nd Column a m p semicolon on partial-differential normal upper Omega period EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>a.e.</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>in</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>on</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> <mml:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"/> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left \{ {\begin {array}{*{20}{c}} {Lu = f} & {{\text {a.e.}}\;{\text {in}}\;\Omega }, \\ {u = 0} & {{\text {on}}\;\partial \Omega }. \\ \end {array} } \right .</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> We assume the coefficients of the elliptic nondivergence form equation that we study are in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="VMO intersection upper L Superscript normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>VMO</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo> ∩ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\text {VMO}} \cap {L^\infty }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .