Comparing powers and symbolic powers of ideals 论文
摘要
We develop tools to study the problem of containment of symbolic powers <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I Superscript left-parenthesis m right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">I^{(m)}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in powers <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I Superscript r"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">I^r</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for a homogeneous ideal <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I"> <mml:semantics> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">I</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in a polynomial ring <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k left-bracket bold upper P Superscript upper N Baseline right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext mathvariant="bold">P</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k[\textbf {P}^N]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N plus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N+1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> variables over an arbitrary algebraically closed field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We obtain results on the structure of the set of pairs <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis r comma m right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(r,m)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I Superscript left-parenthesis m right-parenthesis Baseline subset-of-or-equal-to upper I Superscript r"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ⊆ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">I^{(m)}\subseteq I^r</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . As corollaries, we show that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I squared"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">I^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> contains <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I Superscript left-parenthesis 3 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">I^{(3)}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> whenever <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a finite generic set of points in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper P Superscript 2"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext mathvariant="bold">P</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\textbf {P}^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (thereby giving a partial answer to a question of Huneke), and we show that the containment theorems of Ein–Lazarsfeld–Smith [Invent. Math. 144 (2001), pp. 241–252] and Hochster–Huneke [Invent. Math. 147 (2002), pp. 349–369] are optimal for every fixed dimension and codimension.